Examenul național de bacalaureat 2027

Proba E. c) · Matematică M_tehnologic · Varianta 2

Rezolvă pe hârtie. Când te blochezi, apasă „Pași de rezolvare”: întâi vezi lecția, apoi rezolvarea, câte un pas la fiecare apăsare.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5p Arătați că

\frac{4}{5} + 3 \cdot (1 + \frac{2}{5}) = 5

Pasul 1 din 23p
1. $\frac{4}{5} + 3 \cdot (1 + \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + 3 \cdot (\frac{5}{5} + \frac{2}{5})$
  Începem cu paranteza, după ordinea operațiilor, și aducem cele două numere din ea la același numitor.
2. $\frac{4}{5} + 3 \cdot (1 + \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + 3 \cdot \frac{5 + 2}{5}$
  Fracțiile din paranteză au același numitor, deci scriem suma lor ca o singură fracție cu acest numitor.
3. $\frac{4}{5} + 3 \cdot (1 + \frac{2}{5}) = \frac{4}{5} + 3 \cdot \frac{7}{5}$
  Efectuăm calculul de la numărător.
Pasul 2 din 22p
1. $\frac{4}{5} + 3 \cdot \frac{7}{5} = \frac{4}{5} + \frac{21}{5}$
  Înmulțirea se face înaintea adunării și a scăderii: înmulțim numărul întreg cu numărătorul și păstrăm numitorul.
2. $\frac{4}{5} + 3 \cdot \frac{7}{5} = \frac{4 + 21}{5}$
  Numerele au acum același numitor, deci scriem suma lor ca o singură fracție.
3. $\frac{4}{5} + 3 \cdot \frac{7}{5} = \frac{25}{5}$
  Efectuăm calculul de la numărător.
4. $\frac{4}{5} + 3 \cdot \frac{7}{5} = 5$
  Împărțim numărătorul la numitor și obținem numărul din enunț.

Raportează o greșeală

2. 5p Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = 4 x - 4

. Determinați numărul real

a

pentru care

f (a) = 8

Pasul 1 din 22p
Valoarea funcției în $a$ se obține înlocuind $x$ cu $a$ în formula lui $f$ .
$f (a) = 4 a - 4$ , pentru orice număr real $a$
Pasul 2 din 23p
Egalăm expresia găsită cu valoarea din enunț și obținem o ecuație de gradul I în $a$ , pe care o rezolvăm.
$4 a - 4 = 8$ , de unde obținem $a = 3$

Raportează o greșeală

3. 5p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

7^{2 x - 3} = 7^{x - 3}

Pasul 1 din 23p
1. $7^{2 x - 3} = 7^{x - 3}$
  Pornim de la ecuația din enunț: în ambii membri avem puteri ale aceleiași baze.
2. $2 x - 3 = x - 3$
  Baza este pozitivă și diferită de $1$ , deci puterile sunt egale exact când exponenții sunt egali.
Pasul 2 din 22p
1. $2 x - 3 = x - 3$
  Pornim de la ecuația de gradul I obținută.
2. $x = 0$
  Trecem termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt, schimbându-le semnul.

Raportează o greșeală

4. 5p Determinați probabilitatea ca, alegând un număr

n

din mulțimea

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

, acesta să verifice inegalitatea

4 n \geq 15

Pasul 1 din 22p
1. $= 1 + 9$
  Numărăm elementele lui $A$ : cifra $0$ și cifrele nenule, de la $1$ la $9$ .
2. $= 10$
  Putem alege orice element al lui $A$ , deci numărul cazurilor posibile este numărul elementelor.
Pasul 2 din 23p
1. $4 \cdot 4 = 16$
  Încercăm cifrele descrescător; aceasta este cea mai mică cifră pentru care $4 n \geq 15$ este adevărată.
2. $4 \cdot 3 = 12$
  Pentru cifra dinaintea ei inegalitatea este falsă, deci și pentru toate cifrele mai mici.
3. $9 - 4 + 1 = 6$
  Favorabile sunt cifrele de la cea găsită până la $9$ ; scădem și adunăm $1$ , ca s-o numărăm și pe prima.
4. $p = \frac{6}{10}$
  Probabilitatea este numărul cazurilor favorabile împărțit la numărul cazurilor posibile.
5. $4 \cdot 4 = \frac{3}{5}$
  Simplificăm fracția și obținem probabilitatea cerută.

Raportează o greșeală

5. 5p În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

A (7, 1)

B (5, - 2)

și

C (- 7, 4)

. Determinați distanța dintre mijlocul segmentului

B C

și punctul

A

Pasul 1 din 22p
Fiecare coordonată a mijlocului este media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare ale capetelor segmentului.
Mijlocul segmentului $B C$ este punctul $M (- 1, 1)$
Pasul 2 din 23p
Acum cunoaștem coordonatele ambelor puncte, deci aplicăm formula distanței dintre două puncte, pentru mijlocul găsit și al treilea punct din enunț.
$M A = 8$

Raportează o greșeală

6. 5p Se consideră triunghiul

A B C

, dreptunghic în

A

, cu

A B = 9

și

B C = 13

. Arătați că aria triunghiului

A B C

este egală cu

922

Pasul 1 din 23p
Triunghiul este dreptunghic în $A$ , deci $B C$ este ipotenuza; cateta necunoscută se află cu teorema lui Pitagora.
$A C = 222$
Pasul 2 din 22p
Acum cunoaștem ambele catete, iar aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor.
$A_{Δ A B C} = \frac{A B \cdot A C}{2} = \frac{9 \cdot 2 22}{2} = 922$

Raportează o greșeală

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

I_{2} = (1001)

și

A (x) = (x - x x - 2 - 4)

, unde

x

este număr real.

a) 5p Arătați că

det (A (0)) = 0

Pasul 1 din 23p
Înlocuim $x$ cu $0$ în $A (x)$ , apoi aplicăm formula determinantului de ordinul al doilea: produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare.
$A (0) = (00 - 2 - 4) \Rightarrow det (A (0)) = 00 - 2 - 4 = 0 \cdot (- 4) - 0 \cdot (- 2)$
Pasul 2 din 22p
Determinantul este diferența celor două produse, deci le calculăm și facem scăderea.
$= 0 - 0 = 0$

Raportează o greșeală

b) 5p Arătați că

3 A (5) + 3 A (- 1) = 6 A (2)

Pasul 1 din 23p
Înlocuim $x$ cu valorile date; o matrice se înmulțește cu un număr element cu element, iar matricele de același tip se adună tot element cu element.
$3 A (5) + 3 A (- 1) = (15 - 15 9 - 12) + (- 3 3 - 9 - 12) = (12 - 12 0 - 24)$
Pasul 2 din 22p
Toate elementele sunt multipli de $6$ , așa că îl dăm factor comun și recunoaștem în matricea rămasă pe $A (2)$ .
$= 6 (2 - 2 0 - 4) = 6 A (2)$

Raportează o greșeală

c) 5p Determinați numerele reale

x

pentru care

det (A (x) + x I_{2}) = - 3

Pasul 1 din 23p
Matricea $x I_{2}$ are $x$ pe diagonala principală și $0$ în rest, deci o adunăm doar pe diagonală; apoi calculăm determinantul ca la punctul a), cu $x$ necunoscut.
$A (x) + x I_{2} = (x - x x - 2 - 4) + (x 0 0 x) = (2 x - x x - 2 x - 4)$
și $det (A (x) + x I_{2}) = 3 x^{2} - 10 x$ , pentru orice număr real $x$
Pasul 2 din 22p
Egalăm determinantul cu valoarea dată și aducem totul într-un membru: obținem o ecuație de gradul al doilea, pe care o rezolvăm cu ajutorul discriminantului.
$3 x^{2} - 10 x + 3 = 0$ , de unde obținem $x = \frac{1}{3}$ sau $x = 3$

Raportează o greșeală

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x * y = x y - 5 x - 2 y + 5

a) 5p Arătați că

3 * 2 = - 8

Pasul 1 din 23p
Înlocuim în formula legii pe $x$ cu primul număr și pe $y$ cu al doilea, păstrând parantezele la numerele negative.
$3 * 2 = 3 \cdot 2 - 5 \cdot 3 - 2 \cdot 2 + 5$
Pasul 2 din 22p
Efectuăm înmulțirile, apoi adunările și scăderile; obținem exact valoarea din enunț.
$= 6 - 15 - 4 + 5 = - 8$

Raportează o greșeală

b) 5p Determinați numărul real

x

pentru care

(- 3) * x = 30

Pasul 1 din 23p
Înlocuim în formula legii pe $x$ cu numărul dat, iar în locul lui $y$ scriem necunoscuta $x$ , apoi reducem termenii asemenea.
$(- 3) * x = - 5 x + 20$ , unde $x$ este număr real
Pasul 2 din 22p
Egalăm expresia obținută cu valoarea din enunț și rezolvăm ecuația de gradul I.
$- 5 x + 20 = 30$ , de unde obținem $x = - 2$

Raportează o greșeală

c) 5p Determinați numerele întregi

m

pentru care

(- m) * m > m * m

Pasul 1 din 22p
Calculăm separat cei doi membri, înlocuind în formula legii pe $x$ și pe $y$ cu expresiile date, și reducem termenii asemenea.
$(- m) * m = - m^{2} + 3 m + 5$ , $m * m = m^{2} - 7 m + 5$ , pentru orice număr întreg $m$
Pasul 2 din 23p
Trecem totul într-un membru și obținem o inecuație de gradul al doilea. Aflăm intervalul din semnul funcției de gradul al doilea, apoi păstrăm doar numerele întregi din el.
$- m^{2} + 3 m + 5 > m^{2} - 7 m + 5 \Leftrightarrow m^{2} - 5 m < 0$ și, cum $m$ este număr întreg, obținem $m = 1$ , $m = 2$ , $m = 3$ și $m = 4$

Raportează o greșeală

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 12

a) 5p Arătați că

f^{'} (x) = 3 (x - 3) (x + 1)

x \in R

Pasul 1 din 22p
Derivata unei sume este suma derivatelor, iar constanta din fața unei puteri rămâne în fața derivatei; derivata unei constante este zero.
$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} - 3 \cdot (x^{2})^{'} - 9 \cdot x^{'} + 1 2^{'}$
Pasul 2 din 23p
Aplicăm regula de derivare a puterii fiecărui termen, apoi scriem rezultatul ca produs, ca în enunț: scoatem factorul comun și, dacă rămâne un trinom, îl descompunem după soluțiile lui.
$= 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x - 3) (x + 1)$
, $x \in R$

Raportează o greșeală

b) 5p Arătați că

lim_{x \to 1} \frac{x ^{3} - f ( x )}{x ^{2} - x} = 15

Pasul 1 din 23p
Înlocuim $f (x)$ și reducem termenii. Pentru $x = 1$ fracția devine $\frac{0}{0}$ , deci numărătorul și numitorul se divid cu $x - 1$ : îi descompunem în factori.
$x \to 1 lim \frac{x ^{3} - f ( x )}{x ^{2} - x} = x \to 1 lim \frac{3 x ^{2} + 9 x - 12}{x ^{2} - x} = x \to 1 lim \frac{3 ( x - 1 ) ( x + 4 )}{x ( x - 1 )}$
Pasul 2 din 22p
Simplificăm prin $x - 1$ ; fracția rămasă are sens pentru $x = 1$ , deci înlocuim direct $x$ cu $1$ .
$= x \to 1 lim \frac{3 ( x + 4 )}{x} = 15$

Raportează o greșeală

c) 5p Demonstrați că

- 27 \leq x^{3} - 3 x^{2} - 9 x \leq 5

, pentru orice

x \in [- 1, 5]

Pasul 1 din 23p
Monotonia lui $f$ se citește din semnul derivatei. Găsim punctele în care derivata se anulează, apoi semnul ei pe fiecare porțiune a intervalului.
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 1$
sau $x = 3$ ; pentru orice $x \in [- 1, 3]$ , $f^{'} (x) \leq 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $[- 1, 3]$ și, pentru orice $x \in [3, 5]$ , $f^{'} (x) \geq 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[3, 5]$
Pasul 2 din 22p
Funcția coboară până în punctul în care se schimbă monotonia și apoi urcă, deci valoarea cea mai mică este acolo, iar cea mai mare este într-un capăt. Apoi scădem din toți membrii termenul liber al lui $f$ .
Cum $f (- 1) = 17$ , $f (3) = - 15$ și $f (5) = 17$ , obținem $- 15 \leq f (x) \leq 17$ , pentru orice $x \in [- 1, 5]$ , de unde rezultă $- 27 \leq x^{3} - 3 x^{2} - 9 x \leq 5$ , pentru orice $x \in [- 1, 5]$

Raportează o greșeală

2. Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = x^{2} + 2 x + 2

a) 5p Arătați că

\int_{0}^{3} (f (x) - x^{2} - 2) d x = 9

Pasul 1 din 23p
Scădem din $f (x)$ termenii $x^{2}$ și $2$ și rămâne $2 x$ ; o primitivă a lui $2 x$ este $x^{2}$ , deoarece $(x^{2})^{'} = 2 x$ .
$\int_{0}^{3} (f (x) - x^{2} - 2) d x = \int_{0}^{3} 2 x d x = x^{2}_{0}^{3}$
Pasul 2 din 22p
Aplicăm formula Leibniz-Newton: scădem valoarea primitivei în capătul de jos din valoarea ei în capătul de sus.
$= 9 - 0 = 9$

Raportează o greșeală

b) 5p Arătați că

\int_{0}^{4} \frac{x}{f ( x ) - 2 x} d x = ln 3

Pasul 1 din 23p
Scădem $2 x$ din $f (x)$ și rămâne $x^{2} + 2$ ; observăm că numărătorul $x$ este jumătate din $(x^{2} + 2)^{'} = 2 x$ , deci integrala are forma $\frac{1}{2} \int \frac{u ^{'}}{u} d x$ , cu primitiva $\frac{1}{2} ln u$ .
$\int_{0}^{4} \frac{x}{f ( x ) - 2 x} d x = \int_{0}^{4} \frac{x}{x ^{2} + 2} d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \frac{( x ^{2} + 2 ) ^{'}}{x ^{2} + 2} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 2)_{0}^{4}$
Pasul 2 din 22p
Aplicăm formula Leibniz-Newton și scriem diferența de logaritmi ca logaritmul câtului: $\frac{1}{2} ln \frac{18}{2} = \frac{1}{2} ln 9$ , iar $\frac{1}{2} ln 9 = ln 3$ .
$= \frac{ln 18}{2} - \frac{ln 2}{2} = ln 3$

Raportează o greșeală

c) 5p Determinați

a \in (0, + \infty)

pentru care

\int_{0}^{a} \frac{1}{f ( x ) - 1} d x = \frac{5}{6}

Pasul 1 din 23p
Observăm că $f (x) - 1 = (x + 1)^{2}$ ; cum $(- \frac{1}{x + 1})^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ , o primitivă este $- \frac{1}{x + 1}$ , apoi aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\int_{0}^{a} \frac{1}{f ( x ) - 1} d x = \int_{0}^{a} \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x = - \frac{1}{x + 1}_{0}^{a} = - \frac{1}{a + 1} + 1$
, pentru orice $a \in (0, + \infty)$
Pasul 2 din 22p
Egalăm rezultatul cu valoarea din enunț și rezolvăm ecuația în $a$ ; soluția trebuie să fie în intervalul $(0, + \infty)$ .
$- \frac{1}{a + 1} + 1 = \frac{5}{6}$ , de unde obținem $a = 5$

Raportează o greșeală

Se acordă 10 puncte din oficiu.