Examenul național de bacalaureat 2027

Proba E. c) · Matematică M_tehnologic · Varianta 5

Rezolvă pe hârtie. Când te blochezi, apasă „Pași de rezolvare”: întâi vezi lecția, apoi rezolvarea, câte un pas la fiecare apăsare.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

1. 5p Arătați că

\frac{14}{3} - 2 \cdot (2 - \frac{1}{6}) = 1

Pasul 1 din 23p
1. $\frac{14}{3} - 2 \cdot (2 - \frac{1}{6}) = \frac{14}{3} - 2 \cdot (\frac{12}{6} - \frac{1}{6})$
  Începem cu paranteza, după ordinea operațiilor, și aducem cele două numere din ea la același numitor.
2. $\frac{14}{3} - 2 \cdot (2 - \frac{1}{6}) = \frac{14}{3} - 2 \cdot \frac{12 - 1}{6}$
  Fracțiile din paranteză au același numitor, deci scriem diferența lor ca o singură fracție cu acest numitor.
3. $\frac{14}{3} - 2 \cdot (2 - \frac{1}{6}) = \frac{14}{3} - 2 \cdot \frac{11}{6}$
  Efectuăm calculul de la numărător.
Pasul 2 din 22p
1. $\frac{14}{3} - 2 \cdot \frac{11}{6} = \frac{14}{3} - \frac{22}{6}$
  Înmulțirea se face înaintea adunării și a scăderii: înmulțim numărul întreg cu numărătorul și păstrăm numitorul.
2. $\frac{14}{3} - 2 \cdot \frac{11}{6} = \frac{14}{3} - \frac{11}{3}$
  Simplificăm fracția obținută, împărțind numărătorul și numitorul la același număr.
3. $\frac{14}{3} - 2 \cdot \frac{11}{6} = \frac{14 - 11}{3}$
  Numerele au acum același numitor, deci scriem diferența lor ca o singură fracție.
4. $\frac{14}{3} - 2 \cdot \frac{11}{6} = \frac{3}{3}$
  Efectuăm calculul de la numărător.
5. $\frac{14}{3} - 2 \cdot \frac{11}{6} = 1$
  Împărțim numărătorul la numitor și obținem numărul din enunț.

Raportează o greșeală

2. 5p Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = 3 x + 4

. Determinați numărul real

a

pentru care

f (a) = 13

Pasul 1 din 22p
Valoarea funcției în $a$ se obține înlocuind $x$ cu $a$ în formula lui $f$ .
$f (a) = 3 a + 4$ , pentru orice număr real $a$
Pasul 2 din 23p
Egalăm expresia găsită cu valoarea din enunț și obținem o ecuație de gradul I în $a$ , pe care o rezolvăm.
$3 a + 4 = 13$ , de unde obținem $a = 3$

Raportează o greșeală

3. 5p Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

lo g_{4} (8 x + 6) = lo g_{4} 14

Pasul 1 din 23p
1. $lo g_{4} (8 x + 6) = lo g_{4} 14$
  Pornim de la ecuația din enunț; argumentul logaritmului trebuie să fie pozitiv.
2. $8 x + 6 = 14$
  Logaritmii în aceeași bază sunt egali exact când argumentele lor sunt egale.
Pasul 2 din 22p
1. $8 x + 6 = 14$
  Pornim de la ecuația de gradul I obținută.
2. $8 x = 8$
  Trecem termenii cu $x$ într-un membru și numerele în celălalt, schimbându-le semnul.
3. $x = \frac{8}{8}$
  Împărțim ambii membri la coeficientul lui $x$ .
4. $x = 1$
  Simplificăm fracția și obținem soluția.

Raportează o greșeală

4. 5p Prețul unui produs este

430

de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu

40%

Pasul 1 din 23p
Aflăm întâi cu cât scade prețul: $40%$ din $430$ înseamnă $\frac{40}{100} \cdot 430$ , adică înmulțim prețul cu fracția $\frac{40}{100}$ .
$\frac{40}{100} \cdot 430 = 172$ de lei
Pasul 2 din 22p
La o ieftinire prețul nou este prețul inițial minus scăderea, deci scădem cele două valori.
Prețul după ieftinire este $430 - 172 = 258$ de lei

Raportează o greșeală

5. 5p În reperul cartezian

x O y

se consideră punctele

M (- 6, - 7)

N (- 2, 7)

și

P (- 7, 4)

. Determinați distanța dintre mijlocul segmentului

M N

și punctul

P

Pasul 1 din 22p
Fiecare coordonată a mijlocului este media aritmetică a coordonatelor corespunzătoare ale capetelor segmentului.
Mijlocul segmentului $M N$ este punctul $Q (- 4, 0)$
Pasul 2 din 23p
Acum cunoaștem coordonatele ambelor puncte, deci aplicăm formula distanței dintre două puncte, pentru mijlocul găsit și al treilea punct din enunț.
$QP = (- 7 + 4)^{2} + (4 - 0)^{2} = 5$

Raportează o greșeală

6. 5p Arătați că

(cos 6 0^{\circ} - 3 sin 3 0^{\circ}) \cdot (cos 3 0^{\circ})^{2} = - \frac{3}{4}

Pasul 1 din 23p
1. $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
  Din tabelul valorilor uzuale citim valoarea cosinusului acestui unghi.
2. $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$
  Din tabelul valorilor uzuale citim valoarea sinusului acestui unghi.
3. $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
  Din tabelul valorilor uzuale citim valoarea cosinusului acestui unghi.
Pasul 2 din 22p
1. $(cos 6 0^{\circ} - 3 sin 3 0^{\circ}) \cdot (cos 3 0^{\circ})^{2} = (\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (\frac{3}{2})^{2}$
  Înlocuim fiecare funcție trigonometrică cu valoarea ei din tabel, păstrând parantezele și pătratul.
2. $(c o s 6 0^{\circ} - 3 s i n 3 0^{\circ}) \cdot (c o s 3 0^{\circ})^{2} = (\frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \cdot (\frac{3}{2})^{2}$
  Înmulțim coeficientul din paranteză cu valoarea pe care o însoțește.
3. $(c o s 6 0^{\circ} - 3 s i n 3 0^{\circ}) \cdot (c o s 3 0^{\circ})^{2} = - (\frac{3}{2})^{2}$
  Efectuăm scăderea din prima paranteză.
4. $(c o s 6 0^{\circ} - 3 s i n 3 0^{\circ}) \cdot (c o s 3 0^{\circ})^{2} = - \frac{3}{4}$
  Ridicăm la pătrat valoarea din a doua paranteză.

Raportează o greșeală

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea

M (a) = (a + 9 3 - 6 a - 2)

, unde

a

este număr real.

a) 5p Arătați că

det (M (2)) = 18

Pasul 1 din 23p
Scriem întâi matricea, înlocuind $a$ cu numărul dat în fiecare element. Determinantul ei este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare.
$M (2) = (113 - 6 0) \Rightarrow det (M (2)) = 113 - 6 0 = 11 \cdot 0 - (- 6) \cdot 3$
Pasul 2 din 22p
Calculăm cele două produse, atenți la semne, și le scădem; obținem exact valoarea din enunț.
$= 0 + 18 = 18$

Raportează o greșeală

b) 5p Arătați că

4 M (- 2) + M (3) = 5 M (- 1)

Pasul 1 din 23p
Scriem fiecare matrice din membrul stâng, înlocuind $a$ cu numărul dat, apoi le înmulțim cu numerele din fața lor și le adunăm sau le scădem element cu element.
$M (- 2) = (73 - 6 - 4)$ , $M (3) = (123 - 6 1)$ , $4 M (- 2) + M (3) = (4015 - 30 - 15)$
Pasul 2 din 22p
Toate elementele rezultatului se divid cu același număr, așa că îl scoatem factor în fața matricei și recunoaștem matricea din membrul drept.
$= 5 (83 - 6 - 3) = 5 M (- 1)$

Raportează o greșeală

c) 5p Determinați numărul real

a

pentru care

M (a) \cdot M (0) = 5 M (0)

Pasul 1 din 23p
Calculăm produsul celor două matrice, linie înmulțită cu coloană; elementele rezultatului depind de $a$ .
$M (a) \cdot M (0) = (9 a + 63 3 a + 21 - 42 - 6 a - 14 - 2 a)$ , pentru orice număr real $a$
Pasul 2 din 22p
Calculăm și membrul drept, apoi egalăm elementele aflate pe aceleași poziții; obținem o ecuație de gradul I în $a$ .
$(9 a + 63 3 a + 21 - 42 - 6 a - 14 - 2 a) = (4515 - 30 - 10)$ , de unde obținem $a = - 2$

Raportează o greșeală

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

x \circ y = 4 x - y - x y - 8

a) 5p Arătați că

(- 1) \circ 1 = - 12

Pasul 1 din 23p
Înlocuim în formula legii pe $x$ cu primul număr și pe $y$ cu al doilea, păstrând parantezele la numerele negative.
$(- 1) \circ 1 = 4 \cdot (- 1) - 1 - (- 1) \cdot 1 - 8$
Pasul 2 din 22p
Efectuăm înmulțirile, apoi adunările și scăderile; obținem exact valoarea din enunț.
$= - 4 - 1 + 1 - 8 = - 12$

Raportează o greșeală

b) 5p Determinați numărul real

x

pentru care

(- 2) \circ x = - 8

Pasul 1 din 23p
Înlocuim în formula legii pe $x$ cu numărul dat, iar în locul lui $y$ scriem necunoscuta $x$ , apoi reducem termenii asemenea.
$(- 2) \circ x = - 16 + x$ , unde $x$ este număr real
Pasul 2 din 22p
Egalăm expresia obținută cu valoarea din enunț și rezolvăm ecuația de gradul I.
$- 16 + x = - 8$ , de unde obținem $x = 8$

Raportează o greșeală

c) 5p Determinați numerele întregi

m

pentru care

(- m) \circ m < m \circ m

Pasul 1 din 22p
Calculăm separat cei doi membri, înlocuind în formula legii pe $x$ și pe $y$ cu expresiile date, și reducem termenii asemenea.
$(- m) \circ m = - 5 m + m^{2} - 8$ , $m \circ m = 3 m - m^{2} - 8$ , pentru orice număr întreg $m$
Pasul 2 din 23p
Trecem totul într-un membru și obținem o inecuație de gradul al doilea. Aflăm intervalul din semnul funcției de gradul al doilea, apoi păstrăm doar numerele întregi din el.
$- 5 m + m^{2} - 8 < 3 m - m^{2} - 8 \Leftrightarrow - m^{2} + 4 m > 0$ și, cum $m$ este număr întreg, obținem $m = 1$ , $m = 2$ și $m = 3$

Raportează o greșeală

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = x^{3} + 9 x^{2} - 9

a) 5p Arătați că

f^{'} (x) = 3 x (x + 6)

x \in R

Pasul 1 din 22p
Derivata unei sume este suma derivatelor, iar constanta din fața unei puteri rămâne în fața derivatei; derivata unei constante este zero.
$f^{'} (x) = (x^{3})^{'} + 9 \cdot (x^{2})^{'} - 9^{'}$
Pasul 2 din 23p
Aplicăm regula de derivare a puterii fiecărui termen, apoi scriem rezultatul ca produs, ca în enunț: scoatem factorul comun și, dacă rămâne un trinom, îl descompunem după soluțiile lui.
$= 3 x^{2} + 18 x = 3 x (x + 6)$
, $x \in R$

Raportează o greșeală

b) 5p Arătați că

lim_{x \to 1} \frac{x ^{3} - f ( x )}{x ^{2} - x} = - 18

Pasul 1 din 23p
Înlocuim $f (x)$ și reducem termenii. Pentru $x = 1$ fracția devine $\frac{0}{0}$ , deci numărătorul și numitorul se divid cu $x - 1$ : îi descompunem în factori.
$x \to 1 lim \frac{x ^{3} - f ( x )}{x ^{2} - x} = x \to 1 lim \frac{- 9 x ^{2} + 9}{x ^{2} - x} = x \to 1 lim \frac{- 9 ( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ( x - 1 )}$
Pasul 2 din 22p
Simplificăm prin $x - 1$ ; fracția rămasă are sens pentru $x = 1$ , deci înlocuim direct $x$ cu $1$ .
$= x \to 1 lim \frac{- 9 ( x + 1 )}{x} = - 18$

Raportează o greșeală

c) 5p Demonstrați că

0 \leq x^{3} + 9 x^{2} \leq 108

, pentru orice

x \in [- 6, 2]

Pasul 1 din 23p
Monotonia lui $f$ se citește din semnul derivatei. Găsim punctele în care derivata se anulează, apoi semnul ei pe fiecare porțiune a intervalului.
$f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow x = - 6$
sau $x = 0$ ; pentru orice $x \in [- 6, 0]$ , $f^{'} (x) \leq 0$ , deci $f$ este descrescătoare pe $[- 6, 0]$ și, pentru orice $x \in [0, 2]$ , $f^{'} (x) \geq 0$ , deci $f$ este crescătoare pe $[0, 2]$
Pasul 2 din 22p
Funcția coboară până în punctul în care se schimbă monotonia și apoi urcă, deci valoarea cea mai mică este acolo, iar cea mai mare este într-un capăt. Apoi scădem din toți membrii termenul liber al lui $f$ .
Cum $f (- 6) = 99$ , $f (0) = - 9$ și $f (2) = 35$ , obținem $- 9 \leq f (x) \leq 99$ , pentru orice $x \in [- 6, 2]$ , de unde rezultă $0 \leq x^{3} + 9 x^{2} \leq 108$ , pentru orice $x \in [- 6, 2]$

Raportează o greșeală

2. Se consideră funcția

f : R \to R, f (x) = x^{2} + 2 x + 14

a) 5p Arătați că

\int_{1}^{2} (f (x) - x^{2} - 14) d x = 3

Pasul 1 din 23p
Scădem din $f (x)$ termenii $x^{2}$ și $14$ și rămâne $2 x$ ; o primitivă a lui $2 x$ este $x^{2}$ , deoarece $(x^{2})^{'} = 2 x$ .
$\int_{1}^{2} (f (x) - x^{2} - 14) d x = \int_{1}^{2} 2 x d x = x^{2}_{1}^{2}$
Pasul 2 din 22p
Aplicăm formula Leibniz-Newton: scădem valoarea primitivei în capătul de jos din valoarea ei în capătul de sus.
$= 4 - 1 = 3$

Raportează o greșeală

b) 5p Arătați că

\int_{1}^{11} \frac{x}{f ( x ) - 2 x} d x = ln 3

Pasul 1 din 23p
Scădem $2 x$ din $f (x)$ și rămâne $x^{2} + 14$ ; observăm că numărătorul $x$ este jumătate din $(x^{2} + 14)^{'} = 2 x$ , deci integrala are forma $\frac{1}{2} \int \frac{u ^{'}}{u} d x$ , cu primitiva $\frac{1}{2} ln u$ .
$\int_{1}^{11} \frac{x}{f ( x ) - 2 x} d x = \int_{1}^{11} \frac{x}{x ^{2} + 14} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{11} \frac{( x ^{2} + 14 ) ^{'}}{x ^{2} + 14} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 14)_{1}^{11}$
Pasul 2 din 22p
Aplicăm formula Leibniz-Newton și scriem diferența de logaritmi ca logaritmul câtului: $\frac{1}{2} ln \frac{135}{15} = \frac{1}{2} ln 9$ , iar $\frac{1}{2} ln 9 = ln 3$ .
$= \frac{ln 135}{2} - \frac{ln 15}{2} = ln 3$

Raportează o greșeală

c) 5p Determinați

a \in (0, + \infty)

pentru care

\int_{0}^{a} \frac{1}{f ( x ) - 13} d x = \frac{3}{4}

Pasul 1 din 23p
Observăm că $f (x) - 13 = (x + 1)^{2}$ ; cum $(- \frac{1}{x + 1})^{'} = \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}$ , o primitivă este $- \frac{1}{x + 1}$ , apoi aplicăm formula Leibniz-Newton.
$\int_{0}^{a} \frac{1}{f ( x ) - 13} d x = \int_{0}^{a} \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} d x = - \frac{1}{x + 1}_{0}^{a} = - \frac{1}{a + 1} + 1$
, pentru orice $a \in (0, + \infty)$
Pasul 2 din 22p
Egalăm rezultatul cu valoarea din enunț și rezolvăm ecuația în $a$ ; soluția trebuie să fie în intervalul $(0, + \infty)$ .
$- \frac{1}{a + 1} + 1 = \frac{3}{4}$ , de unde obținem $a = 3$

Raportează o greșeală

Se acordă 10 puncte din oficiu.